江苏省南通市通州区石港小学 马 建
【摘 要】 本文以自我设计学习理念为指导，强调在小学数学建模学习中要在数学化情境中燃起自我设计期盼，在多样化的表达中积淀自我设计要素，在个性化建模中丰富自我设计层次，在变式化应用中凸显自我设计本质，在条理化反思中培养自我设计素养。
【关键词】 建模；学科素养；自我设计；自我调节
基于设计理念的“自我设计”学习，是指以尊重学习者的主体地位、相信学习者的学习能力为前提，让学生自己做主，通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。“设计自己的学习”是对“自我调节学习理念”的生动表达和可视化阐释。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）在“核心素养的内涵”章节中对小学、初中两学段的“模型意识”和“模型观念”提出了明确要求，乘法分配律的学习能在“自我设计”学习理念下进行重构必将对学生学科核心素养的培养极有裨益。下面，笔者结合南通市如东县实验小学肖佳佳老师的“乘法分配律”一课，谈谈自我设计理念下的数学建模教学。
一、 情境数学化，衍生自我设计期待
“会用数学的眼光观察现实世界”，是的，数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，这个“现实世界”在课堂上就是一种“情境”，建模离不开真实情境，而以数学眼光去感悟其中的数学韵味，必将引起学生对数学的好奇心与想象力，形成对自我设计学习的热切期待。
肖佳佳老师营造的情境是这样的：
师：同学们都喜欢玩玩具吗？老师带来了磁力片，今天我们的数学之旅就从磁力片开始。这是一个红色的正方形磁力片，它表示1，现在是几（在下边增加一个正方形磁力片）？
生（齐声答）：2
师：现在是几个2呢（在右边再增加1个2）？再添1个2呢？
生：3个2，算式是3?2。
师：再添一个...的长方形磁力片，用什么算式表示？一共有几个磁力片，用算式怎么表示？还有不同的想法吗？
磁力片是孩子们熟悉的益智玩具，摆一摆，一共有多少个？这样的情境在“一共有多少个磁力片”的任务驱动下，抹上了浓厚的数学味儿。“你还有不同的想法吗？”——这个带有挑战性的问题一下子激发了学生的建构欲望，得出（3 1）?2成为一种自然流淌！
在数形结合思想的支撑下，教师追问：不管是分开看还是合起来看，都是几个正方形？板书而得的这两个综合算式正是乘法分配律的建构原型。诚如崔允漷教授所说，孩子们能“走得到的景点”正是接下来“看得到的风景”和“想得到的美丽”的逻辑起点，真实而富有挑战性的数学化情境衍生出自我设计学习的理性期待，是崔教授所谓“酒量”向“酒品”“人品”递进发展的必要前提[1]。
二、 表达多样化，积淀自我设计要素
数学模型的自我建构是以丰富多样的要素为基础的，肖老师又设计了小组合作操作学习，过程如下：
拼：用不同颜色的磁力片摆两个小长方形，使它们拼成一个大长方形。
算：用不同的综合算式记录磁力片的总个数。
说：在小组里解释算式的意义。
教师选取三个小组带着拼好的磁力片上台汇报：（2 1）?3=2?3 1?3，（2 1）?4=2?4 1?4，（4 2）?8=4?8 2?8。
别具匠心的肖老师在第三组的时候，先出示算式让学生逆向推想：你们知道他们小组是怎么拼的吗？学生脱口而出：共边是8！在学生自我选择拼图方案后，形成了多样化的表达成果：
（3 1）?2=3?2 1?2；（2 1）?3=2?3 1?3；（2 1）?4=2?4 1?4；（4 2）?8=4?8 2?8。
以上学习片段中，“共边”是几，是由学生讨论后自主确定的，拼摆是在轻松的音乐背景中合作完成的，不同的综合算式也是学生自我抽象、交流碰撞的思维成果，这是一种激发儿童创造性的学习场。全班交流后，孩子们发现“共边”就是乘的那个“相同数”，肖老师接着说：“像这样的算式，你还能创造一个吗？每个同学自己写一个！”孩子们写好后，肖老师让两位孩子在黑板上板书，又请三四位同学口答。随后追问：像这样的算式写得完吗？于是，支撑分配律的要素愈发丰盈起来，多样化的表达遵循着乘法分配律的内在逻辑，这为自我设计、建构乘法分配律积淀了良好的基础。
三、 建模个性化，丰富自我设计层次
新课标明确提出“凸显学生主体地位，关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，增强课程适宜性。”[2]自我建构乘法分配律的数学模型，教师要尊重学生思维发展现状，在时间上和抽象层次上留足“自我发展时空”。肖佳佳老师是这样设计的：
师：用你喜欢的方式，概括出这些等式的规律。
师：你想用什么方式？
生1：左边就是合起来乘，右边是分开来乘。
师：有同学已经迫不及待地说出他观察的规律了，还有呢？
生2：还可以用图形来表示。
生3：我觉得还可以用字母。
师：好，现在我们赶快试一试吧！
交流结果如下：
（甲 乙）?丙=甲?丙 乙?丙
（△ □）?○=△?○ □?○
（A B）?C=A?C B?C
在交流的时候，同学们能借助数形结合的思想，进行个性化的表达，比如第三组孩子说：括号里的A B乘共边，就等于A乘共边加B乘共边。
随后教师说：其实你的想法和书本内容是不谋而合的。随后出示书本标准表示方法。
自我设计的学习，其核心要义就在于以尊重学习者的主体地位、相信学习者的学习能力为前提，让学生自己做主。学生潜意识中会基于自己的理解水平和思维个性特征，选择文字、几何图形或字母等表示方式进行自我建模。横向来看，全班同学各种不同建构，体现了思维的层次性，尊重了儿童的个性化建构方式；纵向来看，每位儿童在比照自己和他人的建模方式，并观察了书本标准表示方法后，会自我调节数学模型，不断提升自己的思维理性水平，体现了一种发展性教学的理念。
四、 解释结构化，提升自我设计品质
建模学习强调在自我模型建构后，要将初步建立的模型返回到实践中进行检验、修正、完善、升华，从而提升自我设计的品质。肖佳佳老师是这样设计的：
师：其实同学们并不是和乘法分配律第一次见面，早在以前我们就和它打过交道了。让我们回顾几个数学问题，再次感受乘法分配律的奥秘。
随后教师出示活动要求：
试：用不同的方法尝试解决问题。
想：这两种方法之间有什么联系？
说：用乘法分配律的知识解释其中的奥秘，并在小组里说一说。
教师投影学生方案后，同学们侃侃而谈：
生1：先求一套的，再乘3；或者分别先算3件上衣和3条裤子的价钱，再合起来。这两个算式是相等的，符合乘法分配律。
生2：长加宽的和乘2或者分别求两个宽和两个长，再相加，得数相等，符合乘法分配律。
生3：分别求绿玫瑰和黄玫瑰的面积，或者合起来看成一个大长方形，用长乘宽，也符合乘法分配律。
生4：25分成20和5，5个12和20个12合起来还是25个12，就是乘法分配律！
随后肖老师别具匠心地把这四个模型解释方案同屏展示，如图1所示。
以上四种模型解释，涉及应用意识、几何直观、运算能力等多个维度的数学学科核心素养，学生通过多角度创新思维，对刚刚自我建构起来的关于乘法分配律的模型进行了验证性解释，勾连起新旧知识，原有认知结构中的两种思维方式在新模型的映照下有了全新的解释路径，同时也进一步加深了对乘法分配律的认识，这是一种双向奔赴的，新与旧、零散与整合相融的结构化学习，是一种深度学习。
五、 应用变式化，直抵自我设计本质
自我建构的数学模型，需要在变式练习中自我品悟、自我提醒，不断去除无关因素、干扰因素，厘清模型的本质特征。
肖老师的“我应用”环节，设计了“三关”：
第一关：在□里填数，在○里填运算符号。
（42 35）?2=42?□ 35?□
12?27 12?43=□?(□ □)
第二关：想一想，如果是你，你希望□里是几？
97?14 □?14
第三关：变一变 □45?71 55?29
第一关是对模型基本样式的巩固，并进行了第一次变式，把相同数写在前面。
第二关学生自我设计□里的数，学生的思维瞬间变点燃：应该填3，乘法分配律的巧算功能成为学生的自我发现！
第三关教师问：这道题，可以用乘法分配律进行巧算吗？找寻相同数，学生自我设计，精彩纷呈。平面几何里的“共边”，算式里的“相同数”，这一乘法分配律数学模型的本质特征在此得到充分彰显。
六、 反思条理化，培养自我设计素养
自我设计理念成为学生学习的实践自觉，需要在反思中提炼、强化，这也是自我调节学习的理念要求。在课的结尾，肖佳佳老师借助可视画面的提醒，引领学生进行自我反思。
生1：我们先是通过“拼”“算”“说”知道了两种算法的得数是相等的。
生2：我们自己创造了好多表示乘法分配律的方法。我还发现乘法分配律其实我们经常使用！
生3：我们还在回顾与解决问题中感受到了乘法分配律的应用。
生4：最后，在闯关小游戏中发现乘法分配可以帮助我们巧算，特别要注意要有“相同数”。
生5：我发现其实乘法分配律可以用好多种方法来表示，但用字母表示特别简洁。
反思是对个人经历进行分析、解释和判断的行为。当学生能够对自己的情感、行为和认知进行积极的思考和调整时，反思就会产生作用。本节课，孩子们的反思虽然有些零散，也占用了一些时间，但可以看出他们已经具有初步的自我规划、自我监控、自我调节、自我升华意识。对于学习者来说，建模和包括反思在内的实践可以显著提高学生的自我调节学习能力[3]，自我设计的数学学习素养，需要在反思中不断培养。
从广义的角度来说，一切数学学习都可以看成是一种数学建模，在数学化情境中燃起自我设计的期盼，在多样化的表达中积淀自我设计的要素，在个性化建模中丰富自我设计的层次，在变式化应用中凸显自我设计的本质，在条理化反思中培养自我设计素养。这样的建模才是充分彰显学生主体地位的自我设计学习，学生才能在拾级而上中真正成为学习的主人。
参考文献：
[1] 崔允漷.新课程关键词[M].北京：教育科学出版社，2023.
[2] 教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[S].北京：北京师范大学出版社，2022：2-3.
[3] 理查德?M.卡什.自我调节课堂：帮助学生学会学习[M].丁旭，车燕红，译.上海：华东师范大学出版社，2023：162.
本文刊登于《教育文汇》杂志2024年第4期，版权所有。更多内容请参见杂志。投稿邮箱：jywh2001@126.com（本刊不收取任何版面费，也未委托任何单位组织、个人、代理机构收取）
